Syklisk gruppe
I abstrakt algebra er en syklisk gruppe en gruppe som er generert av ett bestemt element. Det vil si, den består av en mengde elementer med en inverterbar assosiativ operasjon. Og den inneholger et element g slik at ethvert element kan fås ved å gjenta operasjonen eller dens inverse gjentatte ganger til g. Hvert element kan skrives som en potens av g (i multiplikativ notasjone) eller som et multiplum av g (i additiv notasjon). Dette elementet g kalles en generator for gruppen eller et primitivt element for gruppen.
right|200px|The six 6th complex roots of unity form a cyclic group under multiplication. z is a primitive element, but z2 is not, because the odd powers of z are not a power of z2.
Enhver uendelig syklisk gruppe er isomorf til den additive gruppen av de hele tallene, Z. Enhver endelig syklisk gruppe av orden n er isomorf til de hele tallene modulo n. Enhver syklisk gruppe er en abelsk gruppe, (som betyr at gruppeoperasjonen er kommutativ), mens enhver endelig generert abelsk grupper er et direkte produkt av abelske grupper.
Definisjon
En gruppe G kalles syklisk om det er et element g i G slik at
Siden enhver gruppe generert av et element g i gruppn er en undergruppe av den gitte gruppen, så for å vise at G er syklisk er det nok å vise at den eneste undergruppen av G som inneholder g er Gselv (hvor g er gruppens generator).
For eksempel, hvis G = { g0, g1, g2, g3, g4, g5 } er en gruppe, så er g6 = g0, og G er syklisk. G er i praksis det samme som (i matematisk språk, isomorf med)
1 comment
Ivar E. Stav, May 11, 2021
Add a comment or suggest edits
To publish a public comment on the object, select «Leave a comment». To send an inquiry directly to the museum, select «Send an inquiry».